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原創 qiangshuai521  2019-12-24 17:56  閱讀 102 views 次
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在很多交換模型過程產生的人口規模分布會與等級規模法則相符,乘性模型而不是加性模型會使得分布趨向冪律形態。然而,這些模型容易受到交換率和交換量的影響,并且它們無法保持系統中應有的人口總量。比如類似方程4.11所示,城市是隨機選擇的,并隨機新增與城市人口成一定比例的人口數,并從隨機選擇的另一城市人口中去掉相同比例的人口。由于兩個城市的人口基數并不相同,對稱性就被打破了。

方程4.16中,我們設隨機選擇的變化率為ξj(t),且0<ξj(t)<1。只有當人口值小于1時,交換才會發生,也即若Pj(t),Pk(t)<1,交換被放棄。如果我們大量進行此類交換,城市規模的概率分布將逐漸匯聚,但具體是哪種分布模式仍不清晰。舉例來說,我們采用與上述玻爾茲曼律模型相同的起始參數,也即N=500城市,總人口10000,時間點總數為100萬,每個城市20人的統一分布。然后,使用總是小于0.5的隨機變化率,分布將接近冪次定律,見圖4.4所示的位序規模模式。然而,當增長率更低時,其他模式更接近指數型。若人口數被作為資本或財富來考慮,即人口數可以為負值,又會有全新的模型。這些模型在其他研究中也曾被使用過(Ispolatov、Krapivsky and Redner,1998)。

圖4.4 乘性模型生成類冪律分布

4.2 復雜系統特征——比例率

在本書中,我們將證明復雜系統的一個重要特征是分布狀況會隨著系統中成分及主體規模的變化而有規律地變化。比是否構成嚴格意義上的冪次定律更加重要的是在各種比例變化中都存在規律性本身。城市規模分布規律與不同等級城市的空間影響相關,這一樣例已經揭示了這一點。我們在第一章中討論了構成城市的不同模式,在此我們將討論城市最簡單的組織形式將在何種程度上解釋城市空間和時間變化的規律。我們已經介紹了概括這些特征的辦法,即根據齊普夫(1949)的城市等級順序來考察城市的規模分布。如果分布符合冪次定律,則位序規模規律符合方程4.9所示;若分布呈負指數型,則符合方程4.14或4.15所示。
用于解釋分布規律的最簡單模型將在最后一節中介紹,這些模型或基于乘性增長或基于加性增長,前者符合冪次定律分布,后者符合指數定律分布。在兩種情況中,不同規模城市的產生是由于城市可以無限制地擴大,但當城市人口低于一定限制時即不復存在。在這些模型中,剛好觸及限制門檻的城市被認為處于衰退,但仍有可能獲得增長的機會。隨機比例增長模型產生冪次定律分布,但更普遍的分布模式是對數式的。只有當模型具有硬性較低門檻,冪次定律分布才有可能在穩態下建立起來(Simon,1955;Gabaix,1999;Blank and Solomon,2000;Sornette and Cont,1997)。
接下來,我們將探討城市分布如何隨著時間和空間變化而變化。城市分布隨著時間變化相對穩定,城市很少在幾百年乃至幾十年間發生規模上的變化。然而,當我們考察城市的位序與時間的關系時,變化非常明顯,城市等級通常在50年到100年間發生變化。我們引入了很多衡量城市等級隨空間及時間變化的方法,并通過“位序鐘”的方式來表示(Batty,2006a)。我們以意大利城鎮在1300年至1861年的人口變化為例來介紹這種辦法。然后,我們會分析比較城市規模分布的規律,包括公元前430年起的世界各城市,1790年起的美國城市,1901年起的英國城市及1950年起的以色列城市。各個“位序鐘”所表現出的增長與變化形態大相徑庭。當我們將“位序鐘”的城市規模分布,與美國公司在世界500強中的分布(從1955年起),以及紐約高層建筑與世界高層建筑分布(從1909年起)相比較,我們將形態和數據制成了不同的視覺盛宴。這為我們理解微觀層面動態迥異的體系如何在宏觀層面保持規律與穩定提供了豐富的材料。
在解釋規模的時候,我們所建構的模型其實太過簡單,甚至有些無力,因為模型中所假設的前提——競爭關系,并不能被很好地解釋。模型無法證明為什么乘性增長本身是合理的。簡單來說,就是為什么城市間的競爭以此種方式進行,這一問題沒有被解釋。我們所建立的加性(或其他乘性交換模型)都很難解釋現實中發生的規律。下一章中,我們會進一步解釋網絡效應,網絡中的節點通過比例效應增加網絡連接點從而實現規模增長,其間也會產生競爭(Batty,2006b)。事實上,巴拉巴希(2005)的模型基于偏好性的附加,可以被視為網絡競爭效應模型下的一種情況,因為他們都強調共同累積優勢。
用此種概括的體系可以解釋好幾種增長過程。就城市而言,人口規模會擴大也會縮小。城市從小型定居點演變而來,成為大城市必須首先是小城市,因而其增長本就是不對稱的。當然,這也是所有增長過程的共性。由于我們難以確定構成城市的最低人口水平是多少,更因為缺乏數據支撐,我們只能從大城市入手,取最大的一兩百座城市建立分析模型。在這一模型中,當一座城市進入我們選取范圍內——比如說前100,那這座城市就誕生了,否則即宣告其不再屬于城市的范疇。當然,城市分布通常符合克里斯塔勒(Christaller,1933/1966)在中心地理論中提出的空間競爭等級模型,隨機增長模型似乎也符合上述邏輯。然而,盡管下一章會討論,我們現在還不打算討論從個人和公司在市場環境中進行空間選擇的角度建立城鎮與區域體系的社會經濟空間模型。此時,我們還是傾向于簡單地論證基本的乘性與加性增長模式可以為城市規模分布體系提供一個基礎。
界定城市的空間范圍會有困難,但這個問題總體上可以被解決,因為城市空間范圍往往決定了城市規模。相比而言,公司更難以被界定,因為一旦兼并發生,集團規模就會發生變化。在最近一百多年間,城市的建筑本身可能并沒有太大變化。盡管一般來說城市建筑會隨著城市規模擴大而升高,但就最近一百多年來,摩天大樓的建設才是首選。很多摩天大樓都曾被推倒重建,只有少部分被改建、擴建或縮建。觀察公司與城市如何在競爭中擴大規模比觀察建筑高低更加容易。然而,如果一些地方已經有了摩天大樓,也會出現占地更廣的建筑。隨機的乘性增長模型適用于城市之間互相模仿,跟風建設第一高樓的情形。因此,對于建筑,我們可能會見到與城市、公司規模不同的動態變化。在我們討論的時間段內(近一百年左右),我們將不考慮被拆除的小部分高樓,而僅僅關注拆除之后重修且目前仍在服務期的那部分。
4.3 城市的時空動態

我們從一個簡單的案例入手,即14世紀至19世紀間意大利半島上的城市增長(Bosker、Brakman、Garretsen、De Jong and Schramm,2007;Malanima,1998)。案例中的時空動態并不復雜,因為在14世紀及意大利統一期間建立的主要城市(博洛尼亞、佛羅倫薩、熱那亞、米蘭、那不勒斯、帕多瓦、巴勒莫、羅馬、威尼斯、維羅納),到1861年(分析結束點)并沒有發生大規模擴張或等級的大幅度升降。我們設了七個時間點1300年、1400年、1500年、1600年、1700年、1800年及1861年,并且我們找到了這一時期內555個城鎮的人口數量,并根據人口規模對城鎮進行了排序,分析了等級變化的情況。上述重要的城鎮自文藝復興開始就一直占據著人口數量前十五的位置。之后的分析中,盡管一共有195個不同的城鎮都曾進入過前100,我們只考察各時間點的前100名的城鎮。有的城鎮進入又掉出前100,我們只計算在時間點截止時仍處在前100的城鎮,因為我們沒有足夠數據去考察各時間點期間城市人口規模的變化與排名。數據中,有360個城鎮從未進入前100,因此從頭到尾都只能算是村鎮,有的甚至只是微不足道的居民點。需要注意的是,盡管我們希望考察的是人口規模前100的城鎮,第二個時間點(1400年)列入的城鎮數目只有95個,而其他時間點則因存在人口相等的情況而使得城鎮數目超過100個。
考察這一時期的人口相對穩定度,1300年人口規模排名前100的城鎮的人口總數為210萬,1500年下降到171萬(很可能是由于黑死病與戰爭導致人口減少),1700年人口恢復至222萬,1861年增至397萬(因為政局統一及工業化開始)。我們也發現人口的相對穩定度與城市位序規模關系的穩定度直接相關。然而,這種穩定僅僅局限于重要城鎮,小村鎮的位序發生了劇烈的變動,因為意大利城邦中重要城鎮的影響使得小村鎮的維系日益艱難。
上述案例對于我們使用各種工具分析描繪城市的空間時間動態十分有利。我們先將7個時間點上位序規模關系歸納為Pi~r(Pi)1/1-α,取對數變化,設logPi=Φ-?logr(Pi),斜率?與規模系數1/(1-α)相關。此時,暫不考慮時間系數t或τ,將位序與規模相聯系記為r(Pi)。與上述方程4.9相同。我們在圖4.5a中更清晰地展示了兩者分布模式的相似性。衡量規模系數的方法有很多,最傳統的也最受偏愛的辦法是利用普通最小二乘法(ordinary least squares,OLS)估算?,可得比例系數為=1+?-1。相對不那么受偏愛的方法是最大可能性法(maximumlikelihood method),紐曼(Newman,2005)曾將其改寫為冪函數形式,求解每個分布的可能性的方程為:

其中,是比例系數,N是城市數據集(隨時間的點變化而變化)中的觀察數,Pmin是界定每個城市規模分布的最低人口界限。傳統的觀點認為規模分布可能在上尾部分呈現穩定狀態,下尾部分則被最小值截斷,正如克勞斯特、沙利齊和紐曼(Clauset、Shalizi and Newman,2009)所認為,這可能是實驗的一大問題。我們在可用的軟件中嘗試了這種辦法估算,設最小值為Pk,平均值即為:

圖4.5 位序變化的時空動態可視化

注:a.七個時間的Zipf圖;b.1400年與1861年的位序變化;c.所有城鎮在七個時間段的位序變化;d. 位序鐘(顏色灰度變化依據1300年以來城鎮出現年代及其位序。第一個城鎮,1300年位序最高的城鎮為紅色;最末一個城鎮,在最晚年代位序最低的城鎮為藍色,根據紅藍光譜繪制為同等的灰度級別。)
表4.1 大致的排名規模

如表4.1所示,估算值之間非常接近,這也意味著在500年間頂級城市并沒有發生顯著的變化。
4.4 比例的可視化:位序鐘

有兩種探討時空動態分布的方法。其一,我們可以考察兩個時期城市的位序變化,假設任意兩個時間點,記錄城市的位序變化,利用兩次時間點的城市分布位序繪制鐘盤。在圖4.5b中,我們已經繪制了1400年及1861年的城市分布,展示了意大利城市規模的變遷。該圖示是目前為止我們所見到的變化性較大的圖示之一。在圖4.5c中,我們追溯了每個城市變遷中發生的等級及規模變化,并記錄了各個時間點的情況。圖中顏色安排如下:最大且最古老的城鎮為全紅,城市規模越小,進入頂級城市越晚,顏色越冷,依次為紅橙黃綠紫(均出現在灰底上)。本章之后部分提及的“位序鐘”也使用了此種顏色標注的方法。盡管圖4.5b暗示了顯著的位序變化,圖4.5c表現的變化更加溫和,色彩間的平衡表示最大最古老的城市一直都保持著它們的地位。我們需要做的是用更顯而易見的方法抽象出重大改變,正因如此,我們引入了“位序鐘”的概念。
“位序鐘”專注于表示位序的變化,通過鐘內城市位序的拋物線變化來表現位序的變化。任何時候,最高層的城市總是位于中心,最低層的城市則位于外圈,即便沒有到鐘盤也是位于離鐘盤最遠的地方。時間用順時針的方法表示,用于分析的時間段在鐘盤上標記,鐘盤為完整的一周。要想比較兩個位序鐘,我們必須假設例子在鐘盤上直接可比,也即假設各個不同的系統行為可以被表示在鐘盤范圍內,進而進行比較。并且,如果系統具有不同的目標數量,即便各系統可以合理地用鐘盤進行表示,各系統間也往往無法直接比較。下述例子展示了不同鐘盤配置可以界定不同的規模系統,因而構成對城市時空動態分布進行分析和可視化的新形態。
圖4.5d即我們所說的鐘盤。鐘盤具有兩項突出特點:第一,在中世紀末期處于最高等級的城市直至文藝復興早期仍占據著中心的位置(零散的證據表明在21世紀初期仍然如此),這一趨勢被清晰地用紅色標記在鐘盤中心;第二,大多數起伏變化發生在鐘盤外圍,顏色的交叉變化也顯而易見。在鐘盤上我們幾乎沒有看到中心的大城市縮減成小城市,更沒有退出鐘盤的情況,也幾乎沒有城鎮快速成長為大城市進入鐘盤。與我們之后的樣本不同,意大利城市系統中發生上述變化的城市屈指可數。都靈直至1500年才進入鐘盤(進入前100),并于1861年列居第四。另一方面,盡管錫耶納于1300年時排名第7,但到1861年時已降至45。這兩座城市都很難在鐘盤上清晰呈現,但現有的軟件已經使得這種情況很容易被觀察到,我們在后續的例子中會進一步闡述(Batty,2006a)。
鐘盤也讓我們關注了變化的其他方面。因為形態變化以鐘盤方式表現,時間點之間的等級變化很容易從軌跡的變化距離中看出。我們可以確定目標城市i在時間t時的等級ri(t)為“第一變化距離”。我們還沒有在這里討論“規模鐘”,但距離仍可以被設為:

各個城市每個時間間隔增加的距離可以被設為:

其中N(t)為各時間段的城市數量。如果城市位序中不存在并列的情況,則N(t)=100。意大利的例子中,因為存在并列的情況,數量在各個時間段可能有些許不同。這就使得我們需要衡量那些始終處于列表內的城市所發生的平均變化。事實上,如果需要的話,第二、第三、第四,乃至更大的順序變化都可以被計算出來,累積變化也可以被衡量(見4.21)。

在本例中,從1300年到1861年間,所有城市(包括曾進入前100位的195座城市)、所有時間點的平均變化可以被表示為:

其中,T是變化發生的總時長,如本例中為561年。計算結果如表4.2所示,平均來看,一個城市在100年間發生位序d變化為15位,這與數據中城市在100年間可能發生的位序變化d(t)為12~17位相一致。
表4.2 距離測度:全部城市在整個時間段的位序變化

測度時空動態分布的最后一項指標是各城市進入或退出前100的速度。計算時間點t時位于鐘盤內的城市數量并不困難,計算t之前或之后(如t+τ或t-τ)依然位于鐘盤內的城市也不困難。我們設數量L(t,t+τ)為在時間點t與時間點t+τ均排名前100位的城市數量;另設數量L(t-τ,t)為在時間點t與時間點t-τ均排名前100位的城市數量。稍加比較即發現L(t,t+τ)=L(t-τ,t)。我們可以計算給定時間段t內始終位于前100的平均城市數量為:

自始至終均位于前100的平均城市數量為:

上述方程都假設城市數量N為恒定,如果城市數量像意大利案例那樣出現了變化則需要修改;如果有要求,比例方法與可能性方法也能夠加以計算。
我們需要參照整個時間段T定義半衰期。我們沒有具體的函數來描述城市維系排名的過程,鑒于時間間隔往往不能很好地計算半衰期,我們需要通過檢查和插值得出。我們可以在整個時間序列中都這么做,也可以在每個發生變化的時間點做。歸根結底,對時間點t,我們需要對方程L(t,t)/2=L(,t)=L(t,)求解。因為沒有正式的一般化函數可以用來測度維系程度,我們需要考察矩陣L(t,t+τ)。然而,若假設存在指數型衰退,排名最前的城市數量可能減少。如果數量沒有減少,則證明該體系非常具有高度的穩定性與規律性,半衰期與排名最大值的接近程度可以用來測度該體系的穩定性。

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